Кинематика материальной точки

Предмет кинематики - описание движения тела без выяснения причины, вызвавшей это движение. Прежде чем приступать к описанию движения тела, которое происходит в пространстве и времени, необходимо определить систему отсчета, поскольку всякое движение является относительным.

Система отсчета - совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношению к которым мы изучаем интересующее нас движение, и часов, поскольку всякое движение происходит во времени. С системой отсчета для количественного описания движения мы связываем систему координат, в которой для определения положения точки в пространстве мы должны задать три числа.

Среди всего многообразия тел, движение которых мы будем изучать, выделим особое тело, называемое материальной точкой. Его размер много меньше любого характеристического расстояния рассматриваемого в данной задаче. Одно и тоже тело в некоторых задачах может быть принято за материальную точку, в других же нет. Например, при изучении движения Земли вокруг Солнца, мы можем считать ее материальной точкой (диаметр ее много меньше характеристического расстояния данной задачи - диаметра орбиты Земли). При изучении же движения тел по поверхности Земли мы не можем считать ее материальной точкой.

Всякое событие, происходящее с интересующей нас материальной точкой (тело оказалось в некоторый момент времени в некоторой точке пространства – событие), имеет четыре координаты – одну временную и три пространственные. Временная координата события – скалярная величина. В классической механике время абсолютно. Оно течет одинаково во всех системах отсчета. Три пространственные координаты события в механике принято задавать в виде вектора, называемого радиус-вектором.

Радиус-вектор точки – вектор, проведенный из начала системы координат в эту точку, положение которой в пространстве мы определяем.

Выбор системы координат диктуется симметрией рассматриваемой задачи. Для примера приведем наиболее часто используемые системы координат.               

Декартова система координат. В этой системе для задания радиус-вектора задаем его проекции на три взаимно перпендикулярные (ортогональные) оси - x,y,z. Единичные вектора (вектора базиса), направленные вдоль этих осей, обозначаются i,j,k, либо выделяются жирным шрифтом i,j,k. На рис.1.1 изображена декартова система координат, которую принято считать правой. Точка пересечения осей О – начало системы координат.

Зеркальное отражение одной из осей системы координат преобразует ее в левую. Для исключения неопределенности в физике договорились использовать только правую систему координат. Между единичными векторами для нее существует связь: k=ixj(крестом будем обозначать векторное произведение).

Радиус-вектор тела (материальной точки) в декартовой системе координат определяется следующим образом:

,

где  - проекции радиус-вектора на оси системы координат. Видим, что он представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

Рис.1.1. Правая декартова система координат

Если тело покоится, радиус-вектор – величина постоянная. При движении тела радиус-вектор – функция времени:

.

Конец радиус вектора описывает кривую, называемую годографом радиус-вектора. Она представляет собой траекторию движения тела.

Декартову систему координат удобно использовать для описания прямолинейных движений и во всех общих случаях, в которых нет каких-либо симметрий, например, сферической и цилиндрической. В этих двух последних случаях используют сферическую и цилиндрическую системы координат (рис.1.2, рис.1.3).

Декартову систему координат мы используем для иллюстрации наиболее общих физических законов. В ней нет выделенных направлений, точно так же, как нет выделенных направлений во Вселенной.               

Сферическая система координат. В этой системе координат для задания радиус-вектора точки находим ее удаление r от начала координат 0 и два угла (полярный угол) и (азимутальный угол), определение которых проиллюстрировано на рисунке.

Сферические координаты связаны с декартовыми следующими соотношениями:

.                      (1.1)

Рис.1.2

Эту систему координат удобнее всего использовать в задачах со сферически симметричными полями. Например, электрическое поле точечного заряда, гравитационное поле однородного сферического тела и т.д. зависят только от одной координаты r (рис.1.2а). В случае осевой симметрии поля необходимо задать две координаты - r и . Угол  отсчитываем от направления 00'(полярная ось), которое обычно связываем с осью симметрии (рис.1.2b). Для произвольного поля получаем зависимость от всех трех координат. Третью сферическую координату произвольной точки  отсчитываем следующим образом: в плоскости перпендикулярной направлению 00' выделяем направление 00'',  проектируем точку на плоскость, угол между направлением на эту проекцию в плоскости и направлением 00'' даст нам сферическую координату  (рис.1.2с).

Базисные вектора сферической системы координат ,  и  также ортогональны, как и в декартовой системе координат. Единичный вектор  направлен по радиус-вектору, единичный вектор  перпендикулярен радиус-вектору и лежит в плоскости образованной радиус-вектором и осью 00'. Вектор  перпендикулярен двум другим базисным векторам.

Цилиндрическая система координат. В этой системе координат решаем задачи с осевой симметрией.

С этой осью симметрии совмещаем ось z системы координат, берем плоскость, проходящую через начало координат и перпендикулярную оси z. На эту плоскость опускаем перпендикуляр из точки, положение в пространстве которой мы определяем. Удаление основания перпендикуляра от начала координат даст нам первую цилиндрическую координату – p, координату  получаем аналогично сферическим координатам, третья координата z определяется, так же как  и в декартовой системе координат.

Цилиндрические координаты связаны с декартовыми следующими соотношениями:

 .                    (2.2)

Пример, в котором использование цилиндрической системы координат очень удобно – движение заряженной частицы в однородном магнитном поле. В этом случае выделенное направление – направление магнитного поля, траектория движения частицы – винтовая линия, для которой координата p остается неизменной. При решении задач с осевой симметрией использование цилиндрической системы координат более удобно, чем сферической. В первом случае используем две переменные p и z, а во втором случае   rsin и rcos.

Поскольку в дальнейшем мы будем иметь дело с векторными величинами, вспомним основы векторной алгебры.

Вектора - величины, характеризующиеся численным значением и направлением, которые складываются по правилу параллелограмма.

Обозначение вектора: a, либо символ без стрелки, но выделенный в тексте жирным шрифтом - a; обозначение модуля вектора: a, либо тот же символ, что обозначает соответствующий вектор, но уже без выделения жирным шрифтом - a. Операции сложения и вычитания векторов в физике допустимы только для векторов соответствующих одной и той же физической величине. Можно складывать и вычитать вектора скоростей разных тел, но сложение или вычитание вектора скорости и радиус-вектора смысла не имеет.

Сложение и вычитание векторов иллюстрируется следующим рисунком:

                               c=a+b                                         c=a-b

 

               

Умножение вектора на скаляр: c=k*a; c=k*a.

Единичный вектор (орт): ea=a/a, орты декартовой системы - i,j,k.

Проекция вектора на направление вектора l: al=a*cos(y), где y- угол между векторами a и l; al=al*el.

Скалярное произведение: ab=abcos(y), где y- угол между векторами a и b. Проекция вектора на направление, задаваемое единичным вектором el, может быть выражена с помощью скалярного произведения: al=a.el. В декартовых координатах скалярное произведение равно:

.                                         (2.3)

Векторное произведение: c=axb. Вектора a,b,c образуют правую тройку

векторов аналогично векторам i,j,k декартовой системы координат. Вектора a,b лежат в одной плоскости, а вектор c перпендикулярен этой плоскости.   Модуль вектора c равен: c=absin(y), где y- угол между векторами a и b.

В декартовой системе координат векторное произведение удобнее всего записать с помощью определителя:

        (2.4)

 

Векторное произведение не коммутативно: .

Скалярное и векторное произведение имеют смысл и для векторов, относящихся к различным величинам. В этом случае после перемножения мы получаем новую физическую величину, имеющую размерность отличную от размерностей сомножителей.