конспект лекций, вопросы к экзамену

Понятие «задача на построение». Этапы решения задач на построение.

Понятие «задача на построение». Этапы решения задач на построение.

Задачей на построение называется предложение, указывающее                по каким данным, какими средствами (инструментами) и какой геометрический образ (точку, прямую, окружность и т.д.) требуется найти (начертить, построить на плоскости, наметить                на местности) так, чтобы этот образ удовлетворял определенным условиям.

Основные средства построения - циркуль и линейка. Линейка считается односторонней (делений на ней нет и наносить их нельзя).

Этапы:

Анализ: Предположить, что задача решена, сделать примерный чертеж искомой фигуры, отметить те отрезки и углы, которые известны из условия задачи, и стараться определить, к нахождению какой точки (прямой, угла) сводится решение задачи.

 Построение: Описать способ построения.

 Доказательство: Доказать, что множество точек, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством точек.

 Исследование: Выяснить, всегда ли (при любых ли данных) описанное построение возможно, нет ли частных случаев, в которых построение упрощается или делается невозможным.

Задача 2: Построить треугольник по трем заданным сторонам.

Дано:

Отрезки a, b, c (рис. 1).

Построить:

  1. АВС (рис. 2).

 

Этап 1. Анализ

Предположим, что задача решена и искомый треугольник построен (рис. 3).

- При помощи линейки всегда можно провести произвольную прямую d и отметить на ней произвольную точку В.

- Вершина С находится на пересечении прямой d и множества точек, удаленных на расстояние ВС=а от точки В (окружности с центром в точке В и радиусом а).

- Вершина А находится на пересечении множеств точек, удаленных на расстояние АС=b от точки С (окружности с центром в точке С и радиусом b), и множества точек, удаленных на расстояние ВА=c от точки В          (окружность с центром в точке В радиусом c).

Этап 2. Построение

 

Выполняемое действие

Чертеж

1

d – произвольная прямая;

ВÎd (рис. 4).

2

w(B, a);

w(B, a)Ç d = { C } (рис. 5).

3

w(B, с), w(С, b);

w(B, с) Ç w(С, b) = { A, М } (рис. 6).

4

[CA], [BA];

  1. ABC – искомый (рис. 7).

Этап 3. Доказательство

Построенный D ABC  – искомый, так как его стороны по построению равны  а, b и с (рис. 7).

Этап 4. Исследование

Задача имеет два решения, так  как

w(B, с) Ç w(С, b) = { A, М } (рис. 8).

[CM], [BM].

D ABC = D МBC (по трем сторонам).

Следовательно, D МBC – так же удовлетворяет требованиям задачи.

Данная задача не всегда имеет решение. В треугольнике каждая сторона должна быть меньше суммы двух других сторон. Поэтому, если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, например, a > b + c, то нельзя построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам (окружности с центрами  в точках В и С не пересекутся (рис. 9).

02.08.2017; 20:00
просмотров: 137