конспект лекций, вопросы к экзамену

Вынужденные колебания

Рассмотрим колебания осциллятора под действием внешней вынуждающей колебания силы, меняющейся по гармоническому закону c частотой Ω:

645.jpg.

Тогда уравнение, описывающее осциллятор, будет выглядеть так:

646.jpg(20.1)

После деления на массу тела, обозначив647.jpg, получим неоднородное дифференциальное уравнение:

648.jpg(20.2)

Его решением будет сумма двух решений:649.jpg.

Первое слагаемое – решение соответствующего однородного уравнения (без правой части), которое мы уже знаем: 650.jpg.

Второе слагаемое – частное решение неоднородного уравнения. Найдем его. Для этого перейдем к дифференциальному уравнению с комплексными функциями, заменив в правой части гармоническую функцию на экспоненциальную функцию, поскольку 651.jpg:

652.jpg.

Ищем частное решение в виде 653.jpg, тогда 654.jpg, а 655.jpg. После подстановки производных и сокращения общего, не равного нулю множителя 656.jpg, получаем характеристическое уравнение:

657.jpg,

из которого Zo равно:

658.jpg

Приведем его к стандартной форме, избавившись от мнимой единицы в знаменателе:

.

Представим комплексное число Zo в экспоненциальной форме:660.jpg. Тогда

 и

662.jpg.

Окончательно для частного решения неоднородного уравнения получим:

,

где 664.jpg а 665.jpg.(20.3)

Проведем анализ полученного решения. Пусть в момент времени t=0 включается внешняя сила F, которая меняется по гармоническому закону. Со временем, вклад в общее решение x1(t) будет экспоненциально убывать. При условии, что 666.jpg. Слагаемое x2(t) будет описывать установившиеся колебания с частотой 693.jpg, фаза которых будет отставать от фазы колебаний внешней силы F на величину %D1%8B%D0%B0(9).jpg. Амплитуда установившихся колебаний p=x20 будет зависеть от частоты 693.jpg.

 При частоте стремящейся к нулю (670.jpg) амплитудная величина смещения оказывается равной:

671.jpg,

что совпадает со статическим смещением из положения равновесия под действием постоянной силы (закон Гука).

При частоте 693.jpg, называемой резонансной частотой, амплитуда установившихся колебаний будет максимальной. Условие экстремума функции x20(693.jpg):

674.jpg.

Поскольку при резонансе 675.jpg, для резонансной частоты получаем следующее значение:

676.jpg(20.4)

После подстановки этой частоты в выражение для амплитудного смещения x20(693.jpg)получим амплитуду резонансных колебаний:

678.jpg.

Отношение этой амплитуды к статическому смещению будет равно:

679.jpg.

Если затухание мало (при условии680.jpg), то это отношение оказывается равным добротности осциллятора:

681.jpg.

На рис.20.1 изображены зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты, вынуждающей колебания силы, для различных коэффициентов затухания. В соответствии с выражением (20.4) чем больше затухание, тем меньше резонансная частота.

Проанализируем зависимость сдвига фазы 685.jpg вынужденных колебаний от частоты, вынуждающей колебания силы 693.jpg.

При частоте 693.jpg->, сдвиг фазы также стремится к нулю - %D1%8B%D0%B0(9).jpg->.

Рис.20.1

686.jpg

При частоте 693.jpg->688.jpg

689.jpg,

а сдвиг фазы будет равен Pi/2. При частоте 693.jpg->бескон.

691.jpg,

причем к нулю это выражение будет стремиться со стороны отрицательных значений. Тогда, при условии 693.jpg->бескон, сдвиг фазы будет стремиться к значению, равному Pi.

На рис.20.2 изображена зависимость фазового сдвига от частоты вынужденных колебаний 693.jpg для трех различных коэффициентов затухания. Графики на рис. 20.1 и 20.2 построены для резонансной частоты 694.jpg и коэффициентов затухания 695.jpg, равных 4,5,8 c^-1.

Рис.20.2

696.jpg

В заключение приведем добротности некоторых осцилляторов (таблица 20.1). Для камертона приведены различные частоты: 436 Гц –“петербургский камертон” конца 18 века, 435 Гц – международный эталон высоты звука (Вена, 1885), 440 Гц – международный эталон принятый в настоящее время.

Таблица 20.1

 

Осциллятор

 

 

Резонансная частота, Гц

 

 

Добротность

 

Струна

 

 

 

ля первой октавы

436, 435, 440

 

10^3

 

Камертон

 

 

10^4

 

кварцевый резонатор

 

 

10^5 – 10^8

 

10^6-10^9

 

электрон в атоме

 

 

~10^15

 

10^7

 

возбужденное ядро Fe57

 

 

~3 10^18

 

3 10^12

16.10.2014; 22:45
просмотров: 340