конспект лекций, вопросы к экзамену

Длина отрезка и её измерение. Аксиомы длины отрезка. Единицы длины, соотношения между ними.

 

1.1. Этапы введения величины «длина отрезка»

Введем положительную скалярную величину «длина отрезка».

1 этап

Пусть W  - множество отрезков некоторой плоскости.

2 этап

На множестве W зададим отношение t : a t b<=> «при наложении отрезки a и b совпадают». В этом случае будем говорить, что отрезки a и b равны.

3 этап

Заданное отношение t является отношением эквивалентности на W (отношение t обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности). Тогда отношение t разбивает множество  W на классы эквивалентности, причем:

1) каждый класс не пуст (в нем есть хотя бы один отрезок);

         2) классы эквивалентности не пересекаются;

3) в  один класс входят отрезки,  которые совпадают при наложении, т.е. равные;

4) объединение всех классов дает исходное множество W.

4 этап

На множестве  W введем бинарную операцию Å - «состоять из» следующим образом: отрезок с состоит из отрезков a и b,  если он  является  их объединением с точки зрения точечных множеств,  причем отрезки a и b лежат на одной прямой и не имеют общих внутренних точек, но имеют одну общую граничную точку.

Примеры:

 

          

 

       

 

 

5 этап

Каждому классу  эквивалентности поставим в соответствие единственный образ - положительную скалярную величину «длина». Обозначим l(a) – длина отрезка а.

Каждому отрезку  данного  класса  будет  соответствовать  величина «длина» одна и та же.

Из пяти приведенных этапов следует вывод:

1. Каждый отрезок имеет длину.

2. Равные отрезки имеют равные длины.

Так как длина отрезка - положительная скалярная величина, то она подчиняется аксиомам положительных скалярных величин.

   Аксиома 1

Длины любых двух отрезков a и b можно сравнить (наложением). В результате получается одно из трех утверждений:

                    1) l(a)=l(b)

                    2) l(a)<l(b)

                    3) l(a)>l(b), где  l(a)- длина отрезка a, l(b)- длина отрезка b.

Длина отрезка а меньше длины отрезка b, если при наложении отрезок а умещается в отрезке b всеми своими точками и обратное неверно.

 Аксиома 2

Длины любых отрезков можно складывать.  В результате получим длину нового отрезка.

Если l(b)-длина отрезка b, l(c)-длина отрезка c, l(a) – длина отрезка a, такого, что 

a= b Å c. Тогда l(b) + l(c) = l(a) .       

Аксиома 3

Из длины большего отрезка можно вычесть длину меньшего отрезка. В результате получим длину нового отрезка.

l(a) - l(b) = l(c), т.е. получим длину отрезка с, такого, что a= b Å c.                                             

 

Аксиома 4                                                                                  

Длину любого отрезка можно умножить на положительное  действительное число. В результате получим длину нового отрезка.                                                    

l(a)× 4 = l(c)

Аксиома 5

Длину одного отрезка можно разделить на длину другого отрезка. В результате получим положительное действительное число.   

l(c): l(a) = 4

Процесс измерения длины отрезка

                                                                                                                          

Допустим, нужно измерить длину отрезка а.       

Выберем произвольный отрезок е и назовем его единичным. Отрезок е, как и все остальные, имеет длину.  Длине единичного отрезка е поставим в  соответствие  положительное действительное число 1.

Записывают:  l(e)® 1 или   mе(е)=1 (мера длины отрезка е при единице измерения е равна 1).

Узнаем, из скольких единичных отрезков е состоит отрезок а. Для этого разделим длину отрезка а на длину отрезка е. При этом могут получиться различные случаи.                                                                                    

Случай 1

Отрезок а состоит из целого числа отрезков е. 

 

Тогда mе(а)Î N.  Можно записать: mе(а) = 5 или l(a)® 5. Процесс измерения закончен.           

Случай 2

Отрезок а не состоит из целого числа отрезков е.

Тогда  mе(а)ÏN. Получили, что длина отрезка а больше длины отрезка, состоящего из 5 отрезков е, и меньше длины отрезка, состоящего из 6 отрезков е. Можно оценить приближенно по недостатку и по избытку: 5 < mе(a) < 6.

В этом  случае необходимо перейти к новой единице измерения е1, которая представляет собой десятую долю отрезка е.

           е1 Å е1 Å ... Å е1 = е            е1 = е

             10 слагаемых

           l(e1)®               mе(e1)=

 

25.12.2019; 08:00
просмотров: 122