конспект лекций, вопросы к экзамену

Растяжение стержня

Определим деформации цилиндрического стержня при осевой нагрузке (рис.27.4а) пренебрегая силой тяжести. Длина и диаметр недеформированного цилиндра - d0 и l0. После приложения пары растягивающих (или сжимающих) сил к стержню, его длина меняется на величину, которую обозначим x=Dl=l-l0. Если деформации упругие, удлинение (сжатие) стержня пропорционально силе: F=kx - закон установленный Гуком (R.Hooke, 1660). Учитывая, что 741.jpg и определив относительное удлинение стержня в виде 742.jpg, можно записать закон Гука в следующем виде:743.jpg. Произведение коэффициента жесткости стержня k на его длину, деленное на площадь поперечного сечения стержня, зависит только от свойств материала стержня и называется модулем Юнга E. Тогда закон Гука можем записать так:

744.jpg(27.4)

Наблюдения показывают, что при растяжении (сжатии) стержня также уменьшается (увеличивается) его диаметр. Отношение этих относительных деформаций называют коэффициентом Пуассона:

745.jpg(27.5)

В изотропном материале модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют его упругие свойства. С ними, в частности мы можем связать модуль всестороннего сжатия K - параметр обратный коэффициенту сжимаемости (21.3) жидкости (или газа):

.

 При всестороннем сжатии кубика напряжение (давление) на каждой грани кубика одинаково. Пусть оно увеличится на величину 747.jpg, при этом относительная деформация вдоль каждой из осей увеличится на 748.jpg. Относительное изменение объема кубика будет равно кубу относительной деформации вдоль каждого из направлений:

749.jpg.

Здесь мы разложили степенную функцию в ряд по малому параметру 750.jpg и ограничились первыми двумя слагаемыми в разложении.

 Тогда 751.jpg. Окончательно для модуля всестороннего сжатия получим:

752.jpg(27.6)

При медленном растяжении стержня внешняя сила, увеличивающаяся по мере увеличения деформации, совершает работу:

753.jpg.

Эта работа равна потенциальной энергии упруго деформированного тела. Если разделить ее на объем тела V, то получим объемную плотность энергии упругой деформации:

754.jpg(27.7)

В данном случае деформации в каждой точке однородного изотропного стержня одинаковы. Объем деформированного тела V=Sl в первом приближении будет равен Sol0, поскольку упругие деформации, как правило, незначительны.

16.10.2014; 23:04
просмотров: 243