конспект лекций, вопросы к экзамену

Звуковые волны

Если в сплошной среде какую-либо частицу сместить из положения равновесия, то соседние частицы, взаимодействующие с ней, придут в движение, заставляя, в свою очередь, двигаться все более удаленные частицы. Если начальное возмущение исчезнет, то в среде спустя некоторое время установится равновесное состояние. Если же возмущение не исчезнет, а будет, например, периодическим, то в сплошной среде будут наблюдаться упругие волны, распространяющиеся во всех направлениях от источника, которым будет частица, подвергающаяся периодическому воздействию.

Рассмотрим линейную цепочку взаимодействующих атомов - одномерный кристалл (рис.28.1). Пусть в момент времени t=0 на атом в начале цепочки стала действовать сила, меняющаяся по гармоническому закону 755.jpg, тогда этот атом будет участвовать в вынужденных колебаниях, причем смещение из положения равновесия будет также определяться гармонической функцией (20.3), которая в обозначениях, принятых в этой главе будет выглядеть так: 756.jpg. Колебание в произвольном направлении мы можем представить в виде суммы независимых колебаний вдоль оси x и вдоль оси y. Колебания атома в начале координат вдоль оси x возбуждают в цепочке продольную звуковую волну (рис.28.1а), для которой направление распространения совпадает с направлением колебаний атомов. Колебания же атома вдоль оси y возбуждают поперечную звуковую волну (рис.28.1б), в которой направление колебаний атомов перпендикулярно направлению распространения волны.

Рис.28.1

757.jpg

Далее приведем результаты для продольной волны, для поперечной они аналогичны, за исключением того, что скорость ее будет другой. Возмущение до атома с координатой x дойдет спустя некоторое время - t=x/Vl и он тоже будет колебаться по гармоническому закону:

758.jpg(28.1)

Волновой фронт на рисунках показан пунктиром, он распространяется для продольной волны со скоростью Vl, ее еще называют фазовой скоростью, поскольку, по определению этой скорости фаза колебаний атома с координатой x в момент времени t совпадает с фазой колебаний атома в источнике в момент времени  t=0.

“Угадав” решение для смещения произвольного атома в бегущей волне, можем определить общее уравнение, решением которого является функция (28.1). Вторая частная производная функции Ux по времени будет равна:

759.jpg,

вторая же частная производная по x координате будет равна:

760.jpg.

Объединяя эти два уравнения, получим общее уравнение для Ux, которое называется волновым уравнением:

761.jpg(28.2)

Этот же результат мы можем получить и в общем виде, собирая вместе уравнения для неравновесного состояния: (27.12) подставляем в (27.14), а его в (27.3) пренебрегая силой тяжести. Тогда получим уравнение для вектора перемещений в звуковой волне, распространяющейся в изотропном упругом твердом теле:

762.jpg(28.3)

Рассмотрим два частных случая плоских продольной и поперечной волн. Пусть плоская волна распространяется вдоль оси x, от z и y смещение не зависит, поэтому все частные производные по этим координатам равны нулю. Отлична от нуля только проекция Ux и уравнение (28.3) будет выглядеть так:

(28.4)

Сравнивая выражения (28.4) и (28.2) получаем для скорости продольной волны следующее выражение:

764.jpg(28.5)

Для плоской поперечной волны, распространяющейся вдоль оси x, в которой атомы колеблются вдоль оси y, отлична от нуля только одна частная производная 765.jpg.  Из уравнения (28.3) для поперечной волны получаем:

766.jpg(28.6)

Сравнение выражения (28.6) и (28.2) дает скорость поперечной волны:

767.jpg(28.7)

Скорость продольных волн всегда больше, чем скорость поперечных. Их отношение равно

768.jpg

и больше единицы, поскольку коэффициент Пуассона всегда положителен. Например, в стекле (коэффициент Пуассона 769.jpg) 770.jpg.

В таких сплошных средах, как жидкости и газы, сдвиговые напряжения отсутствуют, поэтому в них могут распространяться только продольные волны. Коэффициент Пуассона в них равен нулю и скорость звуковой волны из выражения (28.5) будет равна 771.jpg. Поскольку в плоской волне сжатие происходит только в одном направлении, рассуждения, аналогичные проведенным при получении формулы (27.6), дадут нам следующий результат: 772.jpg.

Оценка скорости звука в воде по полученной формуле дает следующее значение: 773.jpg, которое незначительно отличается от измеренного значения 1483 м/с    Для определения скорости звука в газе нам необходимо использовать уравнение состояния, причем наиболее обосновано использование уравнения для адиабатического (без теплообмена с внешней средой) процесса, поскольку процесс сжатия-разряжения газа в акустической волне протекает настолько быстро, что тепловое равновесие установиться не успевает. Из уравнения адиабаты (его мы получим позже в термодинамике) 774.jpg получим: 775.jpg. Тогда скорость звука оказывается равной:

776.jpg(28.8)

Подстановка численных значений для воздуха при нормальных условия дает 329 м/с, что весьма хорошо соответствует экспериментально измеренному значению.

16.10.2014; 23:09
просмотров: 274