Звуковые волны

Если в сплошной среде какую-либо частицу сместить из положения равновесия, то соседние частицы, взаимодействующие с ней, придут в движение, заставляя, в свою очередь, двигаться все более удаленные частицы. Если начальное возмущение исчезнет, то в среде спустя некоторое время установится равновесное состояние. Если же возмущение не исчезнет, а будет, например, периодическим, то в сплошной среде будут наблюдаться упругие волны, распространяющиеся во всех направлениях от источника, которым будет частица, подвергающаяся периодическому воздействию.

Рассмотрим линейную цепочку взаимодействующих атомов - одномерный кристалл (рис.28.1). Пусть в момент времени t=0 на атом в начале цепочки стала действовать сила, меняющаяся по гармоническому закону , тогда этот атом будет участвовать в вынужденных колебаниях, причем смещение из положения равновесия будет также определяться гармонической функцией (20.3), которая в обозначениях, принятых в этой главе будет выглядеть так: . Колебание в произвольном направлении мы можем представить в виде суммы независимых колебаний вдоль оси x и вдоль оси y. Колебания атома в начале координат вдоль оси x возбуждают в цепочке продольную звуковую волну (рис.28.1а), для которой направление распространения совпадает с направлением колебаний атомов. Колебания же атома вдоль оси y возбуждают поперечную звуковую волну (рис.28.1б), в которой направление колебаний атомов перпендикулярно направлению распространения волны.

Рис.28.1

Далее приведем результаты для продольной волны, для поперечной они аналогичны, за исключением того, что скорость ее будет другой. Возмущение до атома с координатой x дойдет спустя некоторое время - t=x/Vl и он тоже будет колебаться по гармоническому закону:

(28.1)

Волновой фронт на рисунках показан пунктиром, он распространяется для продольной волны со скоростью Vl, ее еще называют фазовой скоростью, поскольку, по определению этой скорости фаза колебаний атома с координатой x в момент времени t совпадает с фазой колебаний атома в источнике в момент времени  t=0.

“Угадав” решение для смещения произвольного атома в бегущей волне, можем определить общее уравнение, решением которого является функция (28.1). Вторая частная производная функции Ux по времени будет равна:

,

вторая же частная производная по x координате будет равна:

.

Объединяя эти два уравнения, получим общее уравнение для Ux, которое называется волновым уравнением:

(28.2)

Этот же результат мы можем получить и в общем виде, собирая вместе уравнения для неравновесного состояния: (27.12) подставляем в (27.14), а его в (27.3) пренебрегая силой тяжести. Тогда получим уравнение для вектора перемещений в звуковой волне, распространяющейся в изотропном упругом твердом теле:

(28.3)

Рассмотрим два частных случая плоских продольной и поперечной волн. Пусть плоская волна распространяется вдоль оси x, от z и y смещение не зависит, поэтому все частные производные по этим координатам равны нулю. Отлична от нуля только проекция Ux и уравнение (28.3) будет выглядеть так:

(28.4)

Сравнивая выражения (28.4) и (28.2) получаем для скорости продольной волны следующее выражение:

(28.5)

Для плоской поперечной волны, распространяющейся вдоль оси x, в которой атомы колеблются вдоль оси y, отлична от нуля только одна частная производная .  Из уравнения (28.3) для поперечной волны получаем:

(28.6)

Сравнение выражения (28.6) и (28.2) дает скорость поперечной волны:

(28.7)

Скорость продольных волн всегда больше, чем скорость поперечных. Их отношение равно

и больше единицы, поскольку коэффициент Пуассона всегда положителен. Например, в стекле (коэффициент Пуассона ) .

В таких сплошных средах, как жидкости и газы, сдвиговые напряжения отсутствуют, поэтому в них могут распространяться только продольные волны. Коэффициент Пуассона в них равен нулю и скорость звуковой волны из выражения (28.5) будет равна . Поскольку в плоской волне сжатие происходит только в одном направлении, рассуждения, аналогичные проведенным при получении формулы (27.6), дадут нам следующий результат: .

Оценка скорости звука в воде по полученной формуле дает следующее значение: , которое незначительно отличается от измеренного значения 1483 м/с    Для определения скорости звука в газе нам необходимо использовать уравнение состояния, причем наиболее обосновано использование уравнения для адиабатического (без теплообмена с внешней средой) процесса, поскольку процесс сжатия-разряжения газа в акустической волне протекает настолько быстро, что тепловое равновесие установиться не успевает. Из уравнения адиабаты (его мы получим позже в термодинамике)  получим: . Тогда скорость звука оказывается равной:

(28.8)

Подстановка численных значений для воздуха при нормальных условия дает 329 м/с, что весьма хорошо соответствует экспериментально измеренному значению.