конспект лекций, вопросы к экзамену

Структура и классификация многоуровневых моделей. Классификация внутренних переменных и уравнений конститутивной модели.

Классификационными признаками для подразделения многоуровневых моделей на классы могут быть выбраны: а) число уровней, включенных в рассмотрение, и связанный с уровнями выбор «элементарной ячейки» (в дальнейшем будем называть ее «элементом»); б) модель (гипотеза) связи однотипных характеристик различных уровней; в) физические теории, положенные в основу нижних масштабных уровней. В настоящее время подавляющее большинство используемых многоуровневых моделей относится к двухуровневым (макро- и мезоуровни), в качестве элемента мезоуровня в таких моделях, как правило, выбирается зерно; в последние годы появляются трехуровневые модели (с добавлением микроуровня).

При моделировании конкретного процесса число рассматриваемых уровней определяется исследователем. Например, при моделировании неупругого деформирования поликристаллических металлов иерархию масштабных уровней можно определить следующим образом: макроуровень – мезоуровень (уровень кристаллита (зерна, субзерна, фрагмента)) – микроуровень (дислокационная структура).

Весьма важным отличительным признаком многоуровневых моделей, во многом определяющим «качество» моделей, является гипотеза о связи характеристик различных уровней. Наиболее распространенной в ФТП является гипотеза Фойгта (в некоторых работах ее называют гипотезой Тейлора), согласно которой полные деформации (или деформации скорости) зерен, входящих в поликристаллический агрегат, полагаются равными деформации (деформации скорости) представительного макрообъема, задаваемой условиями нагружения или решением соответствующей краевой задачи.Другой распространенной гипотезой является гипотеза Рейса (называемая в некоторых работах гипотезой Закса), в соответствии с которой однородными по поликристаллическому агрегату являются напряжения.

В работе [139] вводится взвешенное осреднение всех параметров процесса (напряжений, деформаций скорости, скорости поворота решетки), полученных при применении указанных гипотез. Весовой коэффициент w полагается назначаемой величиной в пределах от 0 (соответствует гипотезе Фойгта) до 1 (гипотезе Рейса). И другие способы осреднения.

В ФТП используются и более сложные подходы к объединению кристаллитов в поликристаллический агрегат. Один из них, называемый «самосогласованной моделью» (или «моделью среднего поля»), основан на решении краевой задачи об одиночном включении (зерне) в матрице, имеющей осредненные («эффективные») характеристики поликристалла.Дальнейшим развитием самосогласованных моделей являются так называемые «прямые модели», в которых каждое зерно представляется совокупностью одного или нескольких конечных элементов, для каждого из элементов напрямую используется та или иная физическая теория. Понятно, что в этом случае вопроса о «согласовании» полей перемещений и вектора напряжений не возникает, непрерывность полей обеспечивается автоматически.

При использовании многоуровневого подхода исследуемая область
на макроуровне заменяется кусочно-однородным с точки зрения историй
нагружения аналогом, объем однородных подобластей не должен быть меньше представительного объема (ПО) макроуровня. Для поликристаллических материалов в качестве ПО макроуровня [36, 37, 39, 51] обычно принимается конгломерат, включающий не менее 7 структурных элементов мезоуровня по стороне куба (т.е. не менее 343 таких элементов). В качестве структурных элементов мезоуровня можно рассматривать кристаллиты, представляющие собой модельный однородный ма-
териал. Так же другие структурные элементы(например границы зерен) выделяются в зависимости от поставленной задачи.

Поведение представительного объема макроуровня описывается моделью макроуровня, учитывающей геометрические особенности макрозадачи и (или) особенности истории макровоздействий. Для ПКА разрабатывается соответствующая модель мезоуровня, учитывающая распределение ориентаций КСК кристаллитов, особенности границ между
кристаллитами (зернами, субзернами, фрагментами), число и расположение в решетке систем скольжения и т.п.

Параметрами процесса на макроуровне являются предписанные условия нагружения, которые и определяют эволюцию макронапряжений Σ (Х, t)и/или макродеформаций, задаваемых некоторой мерой деформации М (Х, t), и их скоростей. В качестве определяющих соотношений макроуровня удобно использовать анизотропный закон Гука в скоростной релаксационной форме

clip_image002(34).jpg

где Π – тензор модулей упругости, D, p D – тензор деформации скорости и его пластическая составляющая, индекс r означает коротационную производную на макроуровне. Пластическая составляющая скорости деформации p D и анизотропные упругие свойства Π в каждый момент деформирования зависят от микроструктуры (а через нее – от истории нагружения), являясь явными внутренними переменными модели макроуровня. Параметры элементов мезоуровня (ориентации КСК,
сопротивление сдвигу по системам скольжения (СС), скорости и накопленные сдвиги по СС) выступают в качестве неявных внутренних переменных макроуровня, а в качестве замыкающих уравнений, связывающих макро- и мезоуровень, используются соответствующие гипотезы(Фойгта, Рейса, Кренера и др.).

29.12.2019; 20:00
просмотров: 42