Множества и операции над ними

Основатель теории множеств Георг Кантор дал такое интуитивное определение понятия множества. Под множеством понимается любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое.

Некоторые важнейшие множества имеют общепринятые стандартные обозначения: – множество всех натуральных чисел, - множество всех целых чисел, - множество рациональных чисел, - множество действительных чисел.

Принадлежность элемента a множеству A обозначается так: a  A (читается: «a принадлежит множеству A»). Если же a не принадлежит A, то пишут a A.

Запись A={a, b, c, …} означает, что множество A состоит из элементов a, b, c, …. Если множество A состоит из элементов a_i, где i пробегает некоторое множество индексов Γ, то пишут A={a_i}, i Г . Если множество A состоит из всех элементов, обладающих определенным свойством, то пишут A={a: …}, где в фигурных скобках после двоеточия записано указанное свойство элементов множества A.

Определение  1 . 1 .  Говорят,  что множество A  является подмножеством множества B, и пишут A B (читается: «множество A содержится во множестве B»), если каждый эле-мент множества A является элементом множества B.

Из этого определения следует, что A A , каково бы ни было множество A. По определению считают, что пустое множество является подмножеством каждого множества: A .

Определение 1 . 2 . Множества A и B называются равными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов.

Равенство  A  =  B  выполняется  тогда  и  только  тогда,  когда A B и B A .

Определение 1 . 3 . Объединением или суммой двух множеств A и B называется множество A B , состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A и B.

То есть, если некоторый элемент принадлежит множеству A B , то он принадлежит либо только множеству A, либо только множеству B, либо обоим этим множествам. Для любого множества A полагается A = A.

Аналогично определяется объединение произвольной конечной или бесконечной совокупности множеств.

Определение 1.4. Пересечением двух множеств A и B называется множество A B , состоящее из всех тех элементов, каждый из которых одновременно принадлежит как множеству A, так и множеству B.

Если A и B не имеют общих элементов (или одно из них или оба пусты), то полагают A B = . В этом случае множества A и B называются непересекающимися.

Аналогично определяется пересечение произвольной конечной или бесконечной совокупности множеств.

Определение 1.5. Разностью двух множеств А и В называется множество А\В, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

По определению, полагается A \ A = .