Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу

Определение 2.1. Множество вещественных чисел X называется ограниченным сверху (соответственно снизу), если существует вещественное число M (соответственно число m), обеспечивающее справедливость для всех его элементов x неравенства x ≤ M (соответственно x ≥ m).

При этом число M (соответственно m) называется верхней границей или мажорантой, оценкой сверху (соответственно нижней границей или минорантой, оценкой снизу) множества.

Заметим, что любое ограниченное сверху множество X имеет бесконечно много верхних границ. Аналогичное замечание можно сделать в отношении нижних границ ограниченного снизу множества X.

Определение  2.2. То число , которое является наименьшей из всех верхних границ ограниченного сверху множества X , называется верхней гранью (или точной верхней границей) этого множества и обозначается символом

То число, x , которое является наибольшей из всех нижних границ ограниченного снизу множества, называется нижней гранью (или точной нижней границей) этого множества и обозначается символом x = inf X .

Определение 2.2*. Число x (соответственно число x ) называется верхней (соответственно нижней) гранью ограниченного сверху (снизу) множества Х, если выполнены следующие требования:

1. каждый элемент х множества Х удовлетворяет неравенству х<= (соответсвенно, x>=x);
2. каково бы ни было вещественное число x' , меньшее (соответственно большее x ), найдется хотя бы один элемент x множества X, удовлетворяющий неравенству x > x' (соответственно x < x' ).

Заметим, что у множества X всех отрицательных вещественных чисел x существует верхняя грань x = 0 , причем это число x = 0 не принадлежит множеству X, а у множества всех положительных целых чисел 1, 2, 3, … существует нижняя грань x = 1 , причем число x = 1 принадлежит указанному множеству и является его наименьшим элементом. Таким образом, верхняя (соответственно нижняя) грань множества X может, как принадлежать, так и не принадлежать множеству X.

Заметим, что множество вещественных чисел X называется ограниченным с обеих сторон или просто ограниченным, если оно ограниченно и сверху, и снизу, т.е. если существуют вещественные числа m и M, обеспечивающие справедливость неравенства m<=x<=M для всех элементов x этого множества.

У всякого непустого ограниченного множества X существуют нижняя и верхняя грани.