Понятие последовательности и ее предела

Определение 3.1. Если каждому значению n из натурального ряда чисел 1, 2, ..., n, ...   ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x_n, то множество занумерованных вещественных чисел
x₁ ,x₂ , …, x_n, … (3.1)
мы и будем называть числовой последовательнностью или просто последовательностью.

Отдельные числа x_i , i = 1, 2, будем называть элементами или членами последовательности (3.1), а для сокращенной записи этой последовательности будем использовать символ {x_n}.

Определение 3.2. Пусть {x_n } и {y_n } – числовые последовательности. Тогда числовая последовательность {x_n + y_n } наз-вается их суммой {x_n }+{y_n }, {x_n - y_n } – их разностью {x_n }-{y_n } , {x_n y_n } – их произведением {x_n }×{y_n } , а если для всех номеров n выполняется  неравенство   y_n 0 ,  то  последовательность

называется частным  этих последовательностей. Если - действительное  число,  то  произведением {x_n } числовой последовательности {x_n } на число   называется последовательность {x_n}.

Определение 3.3. Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N (зависящий, конечно, от ε), обеспечивающий справедливость неравенства
|x_n  - a|< ε    (3.2)
для всех элементов x_n с номерами n, удовлетворяющими условию n>=N . При этом число а называется пределом последователь-ности {x_n}.

Если последовательность {x_n} является сходящейся и имеет своим пределом число а, то символически это записывается так:

Число a не является пределом последовательности {x_n}, если существует такое ε > 0 , что для любого натурального N найдет-ся номер n>=N такой, что | x_n- a |>= ε .

Определение  3.3*.  Последовательность  {x_n}  называется сходящейся, если  существует такое вещественное число а, что в любой ε-окрестности точки а лежат все элементы этой последовательности x_n начиная с некоторого номера N (зависящего, конечно, от ε).

Замечание 1. Из определения сходящейся последовательности и ее предела вытекает, что удаление любого конечного числа элементов этой последовательности не влияет на сходимость этой последовательности и величину предела.

Замечание 2 . В этом определении можно считать эле-менты последовательности {x_n} и предел a также и точками расширенной числовой прямой, то есть x_n , n = 1, 2, , a . Тем самым вводится понятие последовательностей, имеющих сво-им пределом бесконечность (в случае, когда a является одной из бесконечно удаленных точек). Такие последовательности называются бесконечно большими .