конспект лекций, вопросы к экзамену

Понятие последовательности и ее предела

Определение 3.1. Если каждому значению n из натурального ряда чисел 1, 2, ..., n, ...   ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число xn, то множество занумерованных вещественных чисел
x1 ,x2 , …, xn, … (3.1)
мы и будем называть числовой последовательнностью или просто последовательностью.

Отдельные числа xi , i = 1, 2, будем называть элементами или членами последовательности (3.1), а для сокращенной записи этой последовательности будем использовать символ {xn}.

Определение 3.2. Пусть {xn } и {yn } – числовые последовательности. Тогда числовая последовательность {xn + yn } наз-вается их суммой {xn }+{yn }, {xn - yn } – их разностью {xn }-{yn } , {xn yn } – их произведением {xn }×{yn } , а если для всех номеров n выполняется  неравенство   yn 0 ,  то  последовательность

называется частным  этих последовательностей. Если - действительное  число,  то  произведением {xn } числовой последовательности {xn } на число   называется последовательность {xn}.

Определение 3.3. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N (зависящий, конечно, от ε), обеспечивающий справедливость неравенства
|xn  - a|< ε    (3.2)
для всех элементов xn с номерами n, удовлетворяющими условию n>=N . При этом число а называется пределом последователь-ности {xn}.

Если последовательность {xn} является сходящейся и имеет своим пределом число а, то символически это записывается так:

Число a не является пределом последовательности {xn}, если существует такое ε > 0 , что для любого натурального N найдет-ся номер n>=N такой, что | xn- a |>= ε .

Определение  3.3*.  Последовательность  {xn}  называется сходящейся, если  существует такое вещественное число а, что в любой ε-окрестности точки а лежат все элементы этой последовательности xn начиная с некоторого номера N (зависящего, конечно, от ε).

Замечание 1. Из определения сходящейся последовательности и ее предела вытекает, что удаление любого конечного числа элементов этой последовательности не влияет на сходимость этой последовательности и величину предела.

Замечание 2 . В этом определении можно считать эле-менты последовательности {xn} и предел a также и точками расширенной числовой прямой, то есть xn , n = 1, 2, , a . Тем самым вводится понятие последовательностей, имеющих сво-им пределом бесконечность (в случае, когда a является одной из бесконечно удаленных точек). Такие последовательности называются бесконечно большими .

31.08.2015; 08:00
просмотров: 346