конспект лекций, вопросы к экзамену

Огра­ниченность сходящихся последовательностей

Совокупность всех членов последовательности {xn} образует некоторое числовое множество, называемое множеством значений числовой последовательности.

Определение 3.4. Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу) , если множество ее значений ограничено сверху (снизу).

Последовательность,  ограниченная  как  сверху,  так  и  снизу, называется ограниченной.

Определение  3.5.  Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если для любого положительного вещественного числа А найдется номер N, обеспечивающий справедливость неравенства
|xn|>A    (3.10)
для всех элементов xn  с номерами n, удовлетворяющими условию n>=N . В этом случае пишут

Всякая бесконечно большая последовательность является не-ограниченной. Следует заметить, однако, что не всякая неограни-ченная последовательность является бесконечно большой.

Для сходящихся последовательностей имею место две важные теоремы.

Теорема 3.1. Сходящаяся последовательность имеет один предел.

Теорема 3.2. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

31.08.2015; 08:00
просмотров: 433