Сходимость и полнота пространств.

X- ЛНП с нормой ||*||. Если х,у из Х, то величина ||x-y|| выступает как расстояние от х до у.

Подмножество элементов х1,х2… хn из Х – последовательность элементов. [xi]

Определение1: [xi] сходится к элементу х0 из Х, если числовая последовательность ||xn-x0|| -> 0 при n->inf. Или lim(n->inf)xn=x0 так называемая фактическая сходимость.

Определение:2(на языке епсилон): Для любого e>0 существует N=N(e) такой, что для всех последующих номеров n>=N выполняется ||xn-x0||

Аналоги утверждений из числовых последовательностей:

1. если последовательность сходится, то и любая подпоследовательность сходится
2. Если две последовательности сходятся то сумма(разность) сходится к х0+(-)у0

Последовательность ограничена, если найдется такая константа, что ||xn||<=C при любом n.

Все члены огр. Последовательности оказываются ограничены по норме с одной константой. Так же из сходимости следует ограниченность, но не наоборот.

Определение3: Последовательность называется фундоментальной, если при любом е и любом фиксированном р существует N(e) такое, что для n>=N выполняется ||xn+p-xn||

Из сходимости следует фундоментальность. Обратное неверно.

Определение4: Если в нормированном пространстве Х всякая фундоментальная последовательность сходится, то оно называется полным(Банаховым)