Компактные множества

Определение1:Множество называется относительно компактным, если из любой последовательности этого множества можно выделить фундоментальную подпоследовательность. Т.е. подпоследовательность которая сходится по норме к некоторому элементу пространства х.

Определение2:Компактным множеством называется относительно компактное и замкнутое множество.

Исходя из определений можно доказать, что компактное(отн. Компактное) множество ограничено, обратное не верно.

Утверждение: Если пространство Х конечномерное, то любое ограниченное в нем множество – компактно.

Определение3: Пусть е>0 Ме из Х называется e-сетью для М, если для любого х из М существует хе такой, что ||x-xe||<=e. Отметим, что сеть не обязательно является частью множества М

Теорема(критерий Хаусдорфа): Подмножество К из Х относительно компактно тогда и только тогдаЮ когда для любого е>0 существует конечная сеть.Таким образом для конкретных пространств проверка на относительную компактность данного множества может быть осуществлена возможностью построение конечной сети для произвольного е.

Если К, Т из Х относительно компактны, то их иобъединение относительно компактно.

Если хотя бы одно множество относительно компактно, то пересечение множеств относительно компактно.

Если К из Х относительно компактно, то для любого х0 из Х «сдвиг» х0+К относительно компактное множество.